Question

11．（1）已知△ABC中A（2，0），B（4，0），C（2，2），求△ABC的外接圓方程
（2）過直線l：x+2y+1=0與圓C：x²+y²=8的交點，且圓心在直線y=x上的圓的方程．

Answer 1

分析 （1）設△ABC的外接圓方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，利用待定系數法能求出△ABC的外接圓方程．
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+2y+1=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=8}\end{array}\right.$，求出交點坐標一，由圓心在直線y=x上，設圓心為O（a，b），由題意列出方程組求出圓心和半徑，由此能求出圓的方程．

解答 解：（1）設△ABC的外接圓方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
∵△ABC中A（2，0），B（4，0），C（2，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4+2D+F=0}\\{16+4D+F=0}\\{8+2D+2E+F=0}\end{array}\right.$，解得D=-6，E=-2，F(xiàn)=8，
∴△ABC的外接圓方程為x²+y²-6x-2y+8=0．
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+2y+1=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=8}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-1+2\sqrt{39}}{5}}\\{y=\frac{-2-\sqrt{39}}{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-1-2\sqrt{39}}{5}}\\{y=\frac{-2+\sqrt{39}}{5}}\end{array}\right.$，
設圓心為O（a，b），由題意得：
$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{（\frac{-1-2\sqrt{39}}{5}-a）^{2}+（\frac{-2+\sqrt{39}}{5}-b）^{2}}=\sqrt{（\frac{-1+2\sqrt{39}}{5}-a）^{2}+（\frac{-2-\sqrt{39}}{5}-b）^{2}}}\\{a=b}\end{array}\right.$，
整理，得4（$\frac{1}{5}+a$）=2（$\frac{2}{5}+a$），解得a=b=0，
∴圓心O（0，0），半徑r=$\sqrt{（\frac{-1-2\sqrt{39}}{5}）^{2}+（\frac{-2+\sqrt{39}}{5}）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴圓的方程為x²+y²=8．

點評 本題考查圓的方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意圓的性質和待定系數法的合理運用．