Question

2．已知圓C：x²+y²-x+2y=0和直線l：x-y+1=0
（1）試判斷直線l與圓C之間的位置關系，并證明你的判斷；
（2）求與圓C關于直線l對稱的圓的方程．

Answer 1

分析 （1）求出圓心與直線的距離與半徑比較，即可得出結論；
（2）求出圓心C關于直線l的對稱點，即可求與圓C關于直線l對稱的圓的方程．

解答 解：（1）直線l與圓C的位置關系是相離…（1分）
由x²+y²-x+2y=0即（x-$\frac{1}{2}$）²+（y+1）²=$\frac{5}{4}$得，
圓心C（$\frac{1}{2}$，-1），半徑r=$\frac{\sqrt{5}}{2}$…（3分）
圓心到直線l：x-y+1=0的距離d=$\frac{|\frac{1}{2}+1+1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$＞r…（4分）
即直線l與圓C相離…（5分）
（2）設圓心C關于直線l的對稱點為C′（x，y）
則C，C′的中點（$\frac{x+\frac{1}{2}}{2}$，$\frac{y-1}{2}$）在直線l上，且CC′⊥l…（6分）
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+\frac{1}{2}}{2}-\frac{y-1}{2}+1=0}\\{\frac{y+1}{x-\frac{1}{2}}=-1}\end{array}\right.$…（7分），解得x=-2，y=$\frac{3}{2}$，即對稱圓的圓心為C′（-2，$\frac{3}{2}$）…（9分）
對稱圓的半徑r=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，方程為（x+2）²+（y-$\frac{3}{2}$）²=$\frac{5}{4}$…（10分）

點評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．