Question

13．下列四個命題：①?x₀∈R，使sinx₀+cosx₀=2；②對?x∈R，sinx+$\frac{1}{sinx}$≥2；③對?x∈（0，$\frac{π}{2}$），tanx+$\frac{1}{tanx}$≥2；④?x₀∈R，使sinx₀+cosx₀=$\sqrt{2}$．其中正確命題的序號為③④．

Answer 1

分析 利用輔助角公式把sinx+cosx化積判斷①④；舉例說明②錯誤；由x∈（0，$\frac{π}{2}$）時，tanx＞0，結(jié)合基本不等式求最值說明③正確．

解答 解：：①∵$sinx+cosx=\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$，∴?x₀∈R，使sinx₀+cosx₀=2錯誤；
②∵sinx∈[-1，1]，當sinx＜0時，sinx+$\frac{1}{sinx}$＜0，∴②錯誤；
③當x∈（0，$\frac{π}{2}$）時，tanx＞0，∴tanx+$\frac{1}{tanx}$≥2，③正確；
④∵$sinx+cosx=\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$，∴?x₀∈R，使sinx₀+cosx₀=$\sqrt{2}$，正確．
故答案為：③④．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，考查了基本不等式求最值的條件，訓練了三角函數(shù)值域的求法，是中檔題．