Question

2．設函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-a，}&{x＜1}\\{4（x-a）（x-2a），}&{x≥1}\end{array}\right.$，若f（x）恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． a≥2
• B． $\frac{1}{2}$≤a＜1
• C． $\frac{1}{2}$＜a＜1
• D． a≥2或$\frac{1}{2}$≤a＜1

Answer 1

分析 分別設h（x）=2^x-a，g（x）=4（x-a）（x-2a），分兩種情況討論，即可求出a的范圍．

解答 解：設h（x）=2^x-a，g（x）=4（x-a）（x-2a）
若在x＜1時，h（x）=2^x-a與x軸有一個交點，
所以a＞0，并且當x=1時，h（1）=2-a＞0，所以0＜a＜2，
而函數(shù)g（x）=4（x-a）（x-2a）有一個交點，所以2a≥1，且a＜1，
所以$\frac{1}{2}$≤a＜1，
若函數(shù)h（x）=2^x-a在x＜1時，與x軸沒有交點，
則函數(shù)g（x）=4（x-a）（x-2a）有兩個交點，
當a≤0時，h（x）與x軸無交點，g（x）無交點，所以不滿足題意（舍去），
當h（1）=2-a≤時，即a≥2時，g（x）的兩個交點滿足x₁=a，x₂=2a，都是滿足題意的，
綜上所述a的取值范圍是$\frac{1}{2}$≤a＜1，或a≥2．
故選：D．

點評 本題考查了分段函數(shù)的問題，以及函數(shù)的零點問題，培養(yǎng)了學生的轉化能力和運算能力以及分類能力，屬于中檔題．