Question

18．設函數(shù)f（x）=log₂$\frac{x}{8}$•log₂（2x）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間．
（2）若$\frac{1}{8}$≤x≤4，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由對數(shù)的真數(shù)大于零求出函數(shù)f（x）的定義域，由對數(shù)的運算性質化簡f（x），利用換元法、復合函數(shù)的單調性求出函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）由（1）和二次、對數(shù)函數(shù)的性質求出f（x）的值域．

解答 解：（1）由題意得，函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），
f（x）=log₂$\frac{x}{8}$•log₂（2x）=（log₂x-3）（log₂x+1）
=$[lo{g}_{2}^{x}]^{2}-2lo{g}_{2}^{x}-3$，
設t=log₂x，代入得y=t²-2t-3，
則函數(shù)y=t²-2t-3在（-∞，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增，
因為t=log₂x在定義域上遞增，且由log₂x=1得x=2，
所以函數(shù)f（x）的增區(qū)間是（2，+∞），減區(qū)間是（0，2）；
（2）由$\frac{1}{8}$≤x≤4得，t=log₂x∈[-3，2]，
因為函數(shù)y=t²-2t-3在[-3，1）上遞減，在（1，2]上遞增，
所以當t=1時，函數(shù)y取到最小值-4，
當t=-3時，函數(shù)y取到最大值12，
所以f（x）的值域是[-4，12]．

點評 本題考查了對數(shù)函數(shù)的性質，對數(shù)的運算性質，復合函數(shù)的單調性，以及利用換元法將原函數(shù)轉化為二次函數(shù)，考查轉化思想，屬于中檔題．