Question

15．求函數(shù)y=x²-2ax-a²-1在[0，2]上的最小值g（a）和最大值M（a）．

Answer 1

分析 配方可得y=f（x）=（x-a）²-2a²-1，二次函數(shù)f（x）圖象為開口向上的拋物線，對稱軸為x=a，分類討論可得．

解答 解：配方可得y=f（x）=x²-2ax-a²-1=（x-a）²-2a²-1，
∵二次函數(shù)f（x）圖象為開口向上的拋物線，對稱軸為x=a，
∴（1）當(dāng)a＜0時，二次函數(shù)f（x）在[0，2]上單調(diào)遞增，
∴g（a）=f（0）=-a²-1，M（a）=f（2）=-a²-4a+3；
（2）當(dāng)0≤a＜1時，二次函數(shù)f（x）在[0，a]上單調(diào)遞減，在（a，2]單調(diào)遞增，
∴g（a）=f（a）=-2a²-1，M（a）=f（2）=-a²-4a+3；
（3）當(dāng)1≤a≤2時，二次函數(shù)f（x）在[0，a]上單調(diào)遞減，在（a，2]單調(diào)遞增，
∴g（a）=f（a）=-2a²-1，M（a）=f（0）=-a²-1；
（4）當(dāng)a＞2時，二次函數(shù)f（x）在[0，2]上單調(diào)遞減，
∴g（a）=f（2）=-a²-4a+3，M（a）=3f（0）=-a²-1．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)在閉區(qū)間的最值，分類討論并數(shù)形結(jié)合是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．