Question

7．設(shè)函數(shù)$f（x）=\sqrt{|{x-2}|+|{x-a}|-2a}$若函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，試求實(shí)數(shù)a的最大值．

Answer 1

分析 由題意，|x-2|+|x-a|≥2a對(duì)x∈R恒成立，再令g（x）=|x-2|+|x-a|，從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，再分類(lèi)討論求最值即可．

解答 解：由題意，
|x-2|+|x-a|≥2a對(duì)x∈R恒成立，
設(shè)g（x）=|x-2|+|x-a|，
原命題等價(jià)于g（x）_min≥2a，
（i）當(dāng)a≥2時(shí)，g（x）_min=a-2，
解a-2≥2a得，a≤-2與a＞2矛盾，不成立；
（ii）當(dāng)a＜2時(shí)，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x-2-a，x＞2}\\{2-a，a≤x≤2}\\{-2x+a+2，x＜a}\end{array}\right.$，
g（x）_min=2-a≥2a，則$a≤\frac{2}{3}$，
∴實(shí)數(shù)a的最大值為$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值函數(shù)的應(yīng)用及恒成立問(wèn)題與最值問(wèn)題，同時(shí)考查了分類(lèi)討論的思想應(yīng)用，屬于中檔題．