Question

7．已知等比數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，公比為x（x＞0），其前n項和為記為S_n，則函數(shù)$f（x）=\lim_{n→∞}\frac{S_n}{{{S_{n+1}}}}$的解析式為$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}1&{0＜x≤1}\\{\frac{1}{x}}&{x＞1}\end{array}}\right.$．

Answer 1

分析 當x=1時，S_n=n，可得函數(shù)$f（x）=\lim_{n→∞}\frac{S_n}{{{S_{n+1}}}}$=$\underset{lim}{n→∞}\frac{n}{n+1}$．當0＜x＜1時，S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{x}^{n}）}{1-x}$，可得函數(shù)$f（x）=\lim_{n→∞}\frac{S_n}{{{S_{n+1}}}}$=$\underset{lim}{n→∞}\frac{1-{x}^{n}}{1-{x}^{n+1}}$=1．當1＜x時，同理可得．

解答 解：當x=1時，S_n=n，∴函數(shù)$f（x）=\lim_{n→∞}\frac{S_n}{{{S_{n+1}}}}$=$\underset{lim}{n→∞}\frac{n}{n+1}$=1．
當0＜x＜1時，S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{x}^{n}）}{1-x}$，∴函數(shù)$f（x）=\lim_{n→∞}\frac{S_n}{{{S_{n+1}}}}$=$\underset{lim}{n→∞}\frac{1-{x}^{n}}{1-{x}^{n+1}}$=1．
當1＜x時，S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{x}^{n}）}{1-x}$，∴函數(shù)$f（x）=\lim_{n→∞}\frac{S_n}{{{S_{n+1}}}}$=$\underset{lim}{n→∞}\frac{1-{x}^{n}}{1-{x}^{n+1}}$=$\underset{lim}{n→∞}\frac{\frac{1}{{x}^{n}}-1}{\frac{1}{{x}^{n}}-x}$=$\frac{1}{x}$．
綜上可得：$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}1&{0＜x≤1}\\{\frac{1}{x}}&{x＞1}\end{array}}\right.$．
故答案為：$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}1&{0＜x≤1}\\{\frac{1}{x}}&{x＞1}\end{array}}\right.$．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式性質(zhì)、極限的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．