19.(1)當(dāng)x>3時(shí),求函數(shù)y=$\frac{2{x}^{2}}{x-3}$的最小值.
(2)若x2-2ax+2≥0在R上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析 (1)令t=x-3(t>0),用t表示函數(shù)y,再由基本不等式計(jì)算即可得到最小值;
(2)運(yùn)用二次函數(shù)的判別式小于等于0,解不等式即可得到所求a的范圍.

解答 解:(1)令t=x-3(t>0),即x=t+3,
即有y=$\frac{2(t+3)^{2}}{t}$=2(t+$\frac{9}{t}$+6)≥2(2$\sqrt{t•\frac{9}{t}}$+6)=24,
當(dāng)且僅當(dāng)t=3,即x=6時(shí),取得最小值24;
(2)x2-2ax+2≥0在R上恒成立,即為
△=4a2-8≤0,解得-$\sqrt{2}$≤a≤$\sqrt{2}$.
則實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-$\sqrt{2}$,$\sqrt{2}$].

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值的求法:注意運(yùn)用換元法和基本不等式,考查函數(shù)恒成立問題的解法,注意運(yùn)用二次函數(shù)判別式小于等于0,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

9.已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù),且定義域?yàn)椋?∞,0)∪(0,+∞).若x<0時(shí),f(x)=lg$\frac{1-x}{2}$.
(1)求f(x)的解析式;
(2)解關(guān)于x的不等式f(x)>0.

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10.定義:圓心到直線的距離與圓的半徑之比為直線關(guān)于圓的距離比λ;
(1)設(shè)圓C0:x2+y2=1,求過P(2,0)的直線關(guān)于圓C0的距離比λ=$\sqrt{3}$的直線方程;
(2)若圓C與y軸相切于點(diǎn)A(0,3),且直線y=x關(guān)于圓C的距離比λ=$\sqrt{2}$,求此圓C的方程;
(3)是否存在點(diǎn)P,使過P的任意兩條互相垂直的直線分別關(guān)于相應(yīng)兩圓C1:(x+1)2+y2=1與C2:(x-3)2+(y-3)2=4的距離比始終相等?若存在,求出相應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

7.已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1,公比為x(x>0),其前n項(xiàng)和為記為Sn,則函數(shù)$f(x)=\lim_{n→∞}\frac{S_n}{{{S_{n+1}}}}$的解析式為$f(x)=\left\{{\begin{array}{l}1&{0<x≤1}\\{\frac{1}{x}}&{x>1}\end{array}}\right.$.

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14.下列說法正確的是(  )
A.“若x2=1,則x=1”的否命題是“若x2=1,則x≠1”
B.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要非充分條件
C.“a+b≠3”是“a≠1或b≠2”的充分非必要條件
D.“$\left\{\begin{array}{l}a+b>4\\ ab>4\end{array}\right.$”是“a>2且b>2”的充分必要條件

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4.在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z=$\frac{ai+1}{1-i}$(a>0),已知|z|=1則$\overline{z}$=( 。
A.iB.-iC.-1D.1

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11.下列有關(guān)平面向量分解定理的四個(gè)命題中:
①一個(gè)平面內(nèi)有且只有一對(duì)不平行的向量可作為表示該平面所有向量的基;
②一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)多對(duì)不平行向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基;
③平面向量的基向量可能互相垂直;
④一個(gè)平面內(nèi)任一非零向量都可唯一地表示成該平面內(nèi)三個(gè)互不平行向量的線性組合.
正確命題的個(gè)數(shù)是( 。
A.1B.2C.3D.4

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8.已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x3+x+1,則當(dāng)x<0時(shí),f(x)的解析式為f(x)=-x3-x+1.

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9.已知圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為$\frac{2π}{3}$、半徑為6的扇形.則該圓錐的體積為$\frac{{16\sqrt{2}}}{3}π$.

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