Question

18．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x，-1≤x＜0}\\{{x}^{2}，0≤x＜1}\end{array}\right.$，且f（x+2）=f（x），g（x）=$\frac{1}{x-2}$．則方程f（x）=g（x）在區(qū)間[-3，7]上的所有實(shí)數(shù)根之和最接近下列哪個(gè)數(shù)（　�。�

• A． 10
• B． 8
• C． 7
• D． 6

Answer 1

分析 由f（x+2）=f（x），得到函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，分別作出函數(shù)f（x），g（x）在[-3，7]上的圖象，利用圖象觀察交點(diǎn)的個(gè)數(shù)和規(guī)律，然后進(jìn)行求解．

解答 解：∵f（x+2）=f（x），∴函數(shù)f（x）是周期為2的周期函數(shù)，
∵g（x）=$\frac{1}{x-2}$，∴g（x）關(guān)于直線x=2對(duì)稱．
分別作出函數(shù)f（x），g（x）在[-3，7]上的圖象，
由圖象可知兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為6個(gè)，設(shè)6個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小到大為x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，x₆，
且這6個(gè)交點(diǎn)接近點(diǎn)（2，0）對(duì)稱，
則$\frac{1}{2}$（x₁+x₆）=2，x₁+x₆=4，
所以x₁+x₂+x₃+x₄+x₅+x₆=3（x₁+x₆）=3×4=12，
其中x=3時(shí)，不成立，則f（x）=g（x）在區(qū)間[-3，7]上的所有實(shí)根之和為12-3=9，
由圖象可知，x₁+x₆＞4，x₂+x₅＞4，x₄＞1，
∴x₁+x₂+x₄+x₅+x₆＞9．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)和取值的判斷，利用數(shù)形結(jié)合是解決此類問題的基本方法．本題綜合性較強(qiáng)，難度較大．