Question

15．已知函數(shù)f（x）=sin（2x+θ）-$\sqrt{3}$cos（2x+θ）（|θ|＜$\frac{π}{2}$）的圖象關于原點對稱，則y=f（x）在下列哪個區(qū)間上是減函數(shù)（　�。�

• A． （0，$\frac{π}{2}$）
• B． （$\frac{π}{2}$，π）
• C． （$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）
• D． （-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$）

Answer 1

分析 化簡f（x），根據(jù)原點是對稱中心得f（0）=0，解出θ，寫出f（x）的解析式，求出f（x）的減區(qū)間．

解答 解：f（x）=2sin（2x+θ-$\frac{π}{3}$），∵f（x）的圖象關于原點對稱，∴f（0）=2sin（$θ-\frac{π}{3}$）=0．∴|θ|＜$\frac{π}{2}$，∴θ=$\frac{π}{3}$．
∴f（x）=2sin2x．令$\frac{π}{2}+2kπ$≤2x≤$\frac{3π}{2}+2kπ$，解得$\frac{π}{4}$+kπ≤x≤$\frac{3π}{4}$+kπ，∴f（x）的單調減區(qū)間為[$\frac{π}{4}$+kπ，$\frac{3π}{4}$+kπ]，k∈Z．
當k=0時，f（x）的減區(qū)間是[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，∵（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）?[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，∴f（x）在（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）上是減函數(shù)．
故選C．

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的單調性與單調區(qū)間，屬于中檔題．