Question

14．定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x），如果對于任意給定的等比數(shù)列{a_n}，{f（a_n）}仍是等比數(shù)列，則稱f（x）為“保等比數(shù)列函數(shù)”．現(xiàn)有定義在（0，+∞）上的如下函數(shù)：
①f（x）=x²；   ②f（x）=2^x；    ③f（x）=$\sqrt{x}$；    ④f（x）=lnx．
則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的f（x）的序號為①③．

Answer 1

分析 根據(jù)新定義“保比等比數(shù)列”，結合等比數(shù)列中項的定義a_n•a_n+2=a_n+1²，逐一判斷四個函數(shù)，即可得到結論．

解答 解：由等比數(shù)列性質知a_n•a_n+2=a_n+1²，
①當f（x）=x²時，f（a_n）f（a_n+2）=a_n²a_n+2²=（a_n+1²）²=f²（a_n+1），故①正確；
②當f（x）=2^x時，f（a_n）f（a_n+2）=2^a_n•2^a_n+2=2^a_n+a_n+2≠2^2a_n+1=f²（a_n+1），故②不正確；
③當f（x）=$\sqrt{x}$時，f（a_n）f（a_n+2）=$\sqrt{{a}_{n}•{a}_{n+2}}$=$\sqrt{{{a}_{n+1}}^{2}}$=f²（a_n+1），故③正確；
④f（a_n）f（a_n+2）=ln（a_n）•ln（a_n+2）≠ln（a_n+1）²=f²（a_n+1），故④不正確；
故答案為：①③

點評 本題考查等比數(shù)列性質及函數(shù)計算，正確運算，理解新定義是解題的關鍵