Question

12．函數(shù)y=f（x）為偶函數(shù)，且對(duì)任意x₁、x₂∈R均有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+2x₁x₂+1
（1）求f（0）、f（1）、f（2）的值：
（2）求y=f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）直接令x₁=x₂=0得：f（0）=-1；同樣x₁=1，x₂=-1得：f（1）=0；令x₁=x₂=1得：f（2）=3；
（2）直接根據(jù)f[x+（-x）]=f（x）+f（-x）+2x（-x）+1以及f（x）=f（-x），f（0）=-1即可求出f（x）．

解答 解：（1）令x₁=x₂=0得f（0）=2f（0）+1，得f（0）=-1，
令x₁=1，x₂=-1得f（1-1）=2f（1）-1=f（0）=-1，得f（1）=0，
令x₁=x₂=1得f（2）=2f（1）+3=3．
（2）令x₁=x，x₂=-x，則有f（x-x）=f（x）+f（-x）-2x²+1=-1，
又∵f（x）為偶函數(shù)，
∴f（x）=f（-x），代入上式可得：f（x）=x²-1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合．解決第一問的關(guān)鍵在于賦值法的應(yīng)用．一般在見到函數(shù)解析式不知道而要求具體的函數(shù)值時(shí)，多用賦值法來解決