Question

2．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P、Q分別是棱AA₁和CC₁的中點(diǎn)．求證：四邊形PDQB₁是平行四邊形．

Answer 1

分析 取棱BB₁中點(diǎn)為M，連MQ、AM，證明四邊形ADQM與四邊形APB₁M為平行四邊形，證得DQ∥PB₁，
同理可得DP∥QB₁，即證四邊形PDQB₁為平行四邊形．

解答 證明：如圖所示，
取棱BB₁中點(diǎn)為M，連MQ、AM，
由正方體側(cè)面BCC₁B₁為正方形，
且Q、M分別為邊CC₁、BB₁中點(diǎn)，
∴MQ=BC=B₁C₁，MQ∥BC∥B₁C₁，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴AD=MQ，AD∥MQ，
∴四邊形ADQM為平行四邊形，
∴DQ∥AM；
又側(cè)面AB B₁A₁為正方形，P、M分別為AA₁、BB₁的中點(diǎn)，
∴AP=MB₁，AP∥MB₁，
∴四邊形APB₁M為平行四邊形，
∴AM∥PB₁；
∴DQ∥PB₁；
同理，DP∥QB₁；
∴四邊形PDQB₁ 為平行四邊形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間中的平行關(guān)系的判斷和證明問題，利用平行的傳遞性是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．