Question

12．設(shè)命題p：t²-3t+2＜0；命題q：函數(shù)f（x）=3x²+2tx+t+$\frac{4}{3}$=0有不等根．
（1）若“p∨q”為假命題，求t的取值范圍；
（2）若“p∨q”為真命題，且“p∧q”為假命題，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 對(duì)于命題p：t²-3t+2＜0，解得1＜t＜2；對(duì)于命題q：函數(shù)f（x）=3x²+2tx+t+$\frac{4}{3}$=0有不等根，△＞0，解得t＞4或t＜-1．
（1）若“p∨q”為假命題，則命題p與q都為假命題，解出即可；
（2）若“p∨q”為真命題，且“p∧q”為假命題，則命題p與q必然一真一假，即可解出．

解答 解：對(duì)于命題p：t²-3t+2＜0，解得1＜t＜2；對(duì)于命題q：函數(shù)f（x）=3x²+2tx+t+$\frac{4}{3}$=0有不等根，△=$4{t}^{2}-12（t+\frac{4}{3}）$＞0，解得t＞4或t＜-1．
（1）若“p∨q”為假命題，則命題p與q都為假命題，∴$\left\{\begin{array}{l}{t≤1或t≥2}\\{-1≤t≤4}\end{array}\right.$，解得-1≤t≤1或2≤t≤4．
∴t的取值范圍是-1≤t≤1或2≤t≤4．
（2）若“p∨q”為真命題，且“p∧q”為假命題，
則命題p與q必然一真一假．
∴$\left\{\begin{array}{l}{1＜t＜2}\\{-1≤t≤4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{t≤1或t≥2}\\{t＜-1或t＞4}\end{array}\right.$，
解得1＜t＜2或t＜-1或t＞4．
∴t的取值范圍是1＜t＜2或t＜-1或t＞4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)合命題的判斷方法、一元二次不等式的解法、一元二次方程的實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．