Question

2．設f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{x}^{2}-lnx-\frac{1}{2}，x＞0}\\{x+\frac{1}{x}+1，x＜0}\end{array}\right.$，若方程[f（x）]²+af（x）+b=0（a＞0）有四個不相等的實根，則$\frac{b+1}{a+2}$的取值范圍是（-∞，$\frac{1}{3}$）∪（$\frac{1}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 分類討論，從而確定函數(shù)的單調(diào)性及值域，從而化為方程x²+ax+b=0（a＞0）有兩個不同的實根，且在（-∞，-1）∪（0，+∞）上；從而利用線性規(guī)劃求解即可．

解答 解：①當x＞0時，f（x）=$\frac{1}{2}$x²-lnx-$\frac{1}{2}$，
f′（x）=x-$\frac{1}{x}$，
故f（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
而f（1）=0，故f（x）∈[0，+∞）；
②當x＜0時，f（x）=x+$\frac{1}{x}$+1，
故f（x）在（-1，0）上單調(diào)遞減，在（-1，+∞）上單調(diào)遞增；
且f（-1）=-1；故f（x）∈（-∞，-1]；
∵方程[f（x）]²+af（x）+b=0（a＞0）有四個不相等的實根，
∴方程x²+ax+b=0（a＞0）有兩個不同的實根，
且在（-∞，-1）∪（0，+∞）上；
若兩個不同的實根在（-∞，-1）上，
則$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△={a}^{2}-4b＞0}\\{-\frac{a}{2}＜-1}\\{1-a+b＞0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞2}\\{1-a+b＞0}\\{{a}^{2}-4b＞0}\end{array}\right.$，
作平面區(qū)域如下，
，
$\frac{b+1}{a+2}$的幾何意義是陰影內(nèi)的點與點A（-2，-1）連線的斜率，
而k_AB=$\frac{1+1}{2+2}$=$\frac{1}{2}$，
故$\frac{b+1}{a+2}$＞$\frac{1}{2}$；
若兩個不同的實根分別在（-∞，-1）與（0，+∞）上，
則$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{1-a+b＜0}\\{b＜0}\end{array}\right.$，
作平面區(qū)域如下，

$\frac{b+1}{a+2}$的幾何意義是陰影內(nèi)的點與點A（-2，-1）連線的斜率，
而k_AB=$\frac{0+1}{1+2}$=$\frac{1}{3}$，
故$\frac{b+1}{a+2}$＜$\frac{1}{3}$；
∵a＞0，∴兩個不同的實根不可能同時在（0，+∞）上，
綜上所述，
$\frac{b+1}{a+2}$的取值范圍是（-∞，$\frac{1}{3}$）∪（$\frac{1}{2}$，+∞）．
故答案為：（-∞，$\frac{1}{3}$）∪（$\frac{1}{2}$，+∞）．

點評 本題考查了數(shù)形結合的思想應用及分類討論的思想應用，同時考查了導數(shù)的綜合應用．