Question

13．已知頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸是x軸的拋物線經(jīng)過點(diǎn)M（$\frac{1}{2}$，-$\sqrt{2}$）．
（I）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）直線l過點(diǎn)P（1，0），且與拋物線交于不同兩點(diǎn)A，B，若|AB|=5，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意設(shè)拋物線的方程為y²=2px，把M（$\frac{1}{2}$，-$\sqrt{2}$），代入方程得2=2p×$\frac{1}{2}$，由此能求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）分類討論，設(shè)出直線方程代入拋物線方程，求出弦長，利用|AB|=5，即可求直線l的方程．

解答 解：（Ⅰ）由題意設(shè)拋物線的方程為y²=2px，
把M（$\frac{1}{2}$，-$\sqrt{2}$），代入方程得2=2p×$\frac{1}{2}$，
解得p=2，
所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y²=4x
（Ⅱ）由（Ⅰ）知P（1，0）是拋物線的焦點(diǎn)．
若直線l垂直于x軸，則A（1，2），B（1，-2），此時(shí)|AB|=4，與題設(shè)不符；
若直線l與x軸不垂直，可令直線l的方程為y=k（x-1），再設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
與拋物線方程聯(lián)立，消去y可得k²x²-2（k²+2）+k²=0，于是x₁+x₂=$\frac{2（{k}^{2}+2）}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1，
則|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{{k}^{2}}$=5，解得k=±2，
從而，所求直線l的方程為y=±2（x-1）．

點(diǎn)評 本題考查拋物線方程的求法，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．