Question

4．己知等比數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a₁+2a₂=1，a₃²=4a₂a₆．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足：b_n=a_n+（-1）ⁿln（3a_n），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組，求出首項(xiàng)和公比，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由b_n=a_n+（-1）ⁿln（3a_n）=$\frac{1}{{2}^{n}}$+（-1）ⁿ（ln3-nln2）=$\frac{1}{{2}^{n}}$-（-1）ⁿnln2+（-1）ⁿln3，利用分組求和法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，
∵等比數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a₁+2a₂=1，a₃²=4a₂a₆，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2{a}_{1}q=1}\\{（{a}_{1}{q}^{2}）^{2}=4{a}_{1}q•{a}_{1}{q}^{5}}\\{q＞0}\end{array}\right.$，
解得${a}_{1}=\frac{1}{2}$，q=$\frac{1}{2}$，
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為${a}_{n}=\frac{1}{{2}^{n}}$．
（2）b_n=a_n+（-1）ⁿln（3a_n）=$\frac{1}{{2}^{n}}$+（-1）ⁿ（ln3-nln2）=$\frac{1}{{2}^{n}}$-（-1）ⁿnln2+（-1）ⁿln3，
∴S_n=（$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}$）+[-1+2-3+…+（-1）ⁿn]ln2+[-1+1-1+…+（-1）ⁿ]ln3，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，S_n=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$+（$\frac{n-1}{2}-n$）ln2-ln3=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n+1}{2}ln2$-ln3．
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，S_n=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$+$\frac{n}{2}$ln2=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{2}$ln2．
綜上，${S}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{1-\frac{1}{{2}^{n}}-\frac{n+1}{2}ln2-ln3，n為奇數(shù)}\\{1-\frac{1}{{2}^{n}}+\frac{n}{2}ln2，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意等比數(shù)列的性質(zhì)和分組求和法及分類討論思想的合理運(yùn)用．