Question

19．已知數(shù)列{a_n}滿足：a_n+1+a_n=2ⁿ，且a₁=1，b_n=a_n-$\frac{1}{3}$×2ⁿ．
（1）求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，若a_na_n+1-tS_n＞0對任意n∈N^*都成立．試求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知推導(dǎo)出${a}_{n+1}-\frac{1}{3}×{2}^{n+1}=-（{a}_{n}-\frac{1}{3}×{2}^{n}）$，由此能證明數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為$\frac{1}{3}$，公比為1的等比數(shù)列．
（2）先求出${a}_{n}=\frac{1}{3}[{2}^{n}-（-1）^{n}]$，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{1}{3}$[${2}^{n+1}-2-\frac{（-1）^{n}+1}{2}$]，從而a_na_n+1=$\frac{1}{9}$[2ⁿ-（-1）ⁿ][2ⁿ⁺¹-（-1）ⁿ⁺¹]，由此根據(jù)n為正奇數(shù)和n為正偶數(shù)，分類討論，能求出t的取值范圍．

解答 證明：（1）∵數(shù)列{a_n}滿足：a_n+1+a_n=2ⁿ，且a₁=1，b_n=a_n-$\frac{1}{3}$×2ⁿ，
∴${a}_{n+1}-\frac{1}{3}×{2}^{n+1}=-（{a}_{n}-\frac{1}{3}×{2}^{n}）$，
∴$\frac{{a}_{n+1}-\frac{1}{3}×{2}^{n+1}}{{a}_{n}-\frac{1}{3}×{2}^{n}}$=-1，
∵${a}_{1}-\frac{1}{3}×2$=$\frac{1}{3}$，
∴數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為$\frac{1}{3}$，公比為1的等比數(shù)列．
解：（2）由（1）知${a}_{n}-\frac{1}{3}×{2}^{n}$=$\frac{1}{3}×（-1）^{n-1}$，
∴${a}_{n}=\frac{1}{3}[{2}^{n}-（-1）^{n}]$，
∴數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和：
S_n=$\frac{1}{3}${（2+2²+2³+…+2ⁿ）-[-（-1）+（-1）²+…+（-1）ⁿ}
=$\frac{1}{3}$[${2}^{n+1}-2-\frac{（-1）^{n}+1}{2}$]
=$\frac{1}{3}•{2}^{n+1}$-$\frac{1}{6}（-1）^{n}$-$\frac{1}{2}$．
∵a_na_n+1-tS_n＞0對任意n∈N^*都成立．
∴由a_n=$\frac{1}{3}$[2ⁿ-（-1）ⁿ]，得a_na_n+1=$\frac{1}{9}$[2ⁿ-（-1）ⁿ][2ⁿ⁺¹-（-1）ⁿ⁺¹]，
S_n=$\frac{1}{3}•{2}^{n+1}$-$\frac{1}{6}（-1）^{n}$-$\frac{1}{2}$．
①當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，a_na_n+1-tS_n=$\frac{1}{9}$（2ⁿ+1）（2ⁿ⁺¹-1）-$\frac{1}{3}t$（2ⁿ⁺¹-1）＞0對任意n∈N^*都成立，
∵2ⁿ⁺¹-1＞0，∴$\frac{1}{9}$（2ⁿ+1）-$\frac{t}{3}$＞0，即t$＜\frac{1}{3}$（2ⁿ+1）對任意正奇數(shù)n都成立，
又因?yàn)閿?shù)列{$\frac{1}{3}（{2}^{n}+1）$}遞增，
所以當(dāng)n=1時(shí)，$\frac{1}{3}（{2}^{n}+1）$有最小值1，∴t＜1；
②當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，a_na_n+1-tS_n=$\frac{1}{9}$（2ⁿ-1）（2ⁿ⁺¹+1）-$\frac{1}{3}t（{2}^{n+1}-2）＞0$，
即$\frac{1}{9}$（2ⁿ-1）（2ⁿ⁺¹+1）-$\frac{2}{3}t（{2}^{n}-1）$＞0對任意n∈N*都成立，
又∵2ⁿ-1＞0，∴$\frac{1}{9}（{2}^{n+1}+1）-\frac{2}{3}t$＞0，即t＜$\frac{1}{6}（{2}^{n+1}+1）$任意正偶數(shù)n都成立，
又?jǐn)?shù)列{$\frac{1}{6}$（2ⁿ⁺¹+1）}遞增，
∴當(dāng)n=2時(shí)，$\frac{1}{6}（{2}^{n+1}+1）$有最小值$\frac{3}{2}$．∴t$＜\frac{3}{2}$．
綜上所述，當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，t的取值范圍是（-∞，1）；當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，t的取值范圍是（-∞，$\frac{3}{2}$）．

點(diǎn)評 本題考查等比數(shù)列的證明，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，綜合性強(qiáng)、難度大，對數(shù)學(xué)思維能力要求高，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想和數(shù)列性質(zhì)的合理運(yùn)用．