Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$≤φ＜$\frac{π}{2}$）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{3}$對稱，且圖象上相鄰兩個最高點的距離為π．
（Ⅰ）求ω和φ的值；
（Ⅱ）若f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（$\frac{π}{6}$＜α＜$\frac{2π}{3}$），求cos（α-$\frac{π}{6}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得f（x）的最小正周期T=π，利用周期公式可解得ω，又f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{3}$對稱，可得2×$\frac{π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k=0，±1，±2，…．結(jié)合范圍-$\frac{π}{2}$≤φ＜$\frac{π}{2}$，即可求得φ的值．
（2）由（1）得f（$\frac{α}{2}$）=$\sqrt{3}$sin（2×$\frac{α}{2}$-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，解得sin（α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{4}$，由$\frac{π}{6}$＜α＜$\frac{2π}{3}$，0＜α-$\frac{π}{6}$＜$\frac{π}{2}$，利用同角三角函數(shù)關(guān)系式即可得解．

解答 解：（1）因為f（x）的圖象上相鄰兩個最高點的距離為π，所以f（x）的最小正周期T=π，從而ω=$\frac{2π}{T}$=2
又因為f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{3}$對稱，
所以2×$\frac{π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k=0，±1，±2，…．
因為-$\frac{π}{2}$≤φ＜$\frac{π}{2}$，
所以φ=-$\frac{π}{6}$．
（2）由（1）得f（$\frac{α}{2}$）=$\sqrt{3}$sin（2×$\frac{α}{2}$-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
所以sin（α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{4}$，
由$\frac{π}{6}$＜α＜$\frac{2π}{3}$，0＜α-$\frac{π}{6}$＜$\frac{π}{2}$，
所以cos（α-$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{1-si{n}^{2}（α-\frac{π}{6}）}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．

點評 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識的考查．