Question

15．設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）滿足下列條件：
①當(dāng)x∈R時(shí)，f（x）的最小值為0，且圖象關(guān)于直線x=-1對(duì)稱；
②當(dāng)x∈（0，5）時(shí)，x≤f（x）≤2|x-1|+1恒成立．
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅲ）若f（x）在區(qū)間[m-1，m]上恒有|f（x）-$\frac{{x}^{2}}{4}$|≤1，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令x≤f（x）≤2|x-1|+1中x=1，可得f（1）的值；
（Ⅱ）結(jié)合（I）中結(jié)論及當(dāng)x∈R時(shí)，f（x）的最小值為0，且圖象關(guān)于直線x=-1對(duì)稱，可得函數(shù)解析式；
（Ⅲ）若f（x）在區(qū)間[m-1，m]上恒有|f（x）-$\frac{{x}^{2}}{4}$|≤1，則在區(qū)間[m-1，m]上恒有$|\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}|≤1$，則$\left\{\begin{array}{l}-1≤\frac{1}{2}（m-1）+\frac{1}{4}≤1\\-1≤\frac{1}{2}m+\frac{1}{4}≤1\end{array}\right.$，解得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵當(dāng)x∈（0，5）時(shí)，x≤f（x）≤2|x-1|+1恒成立，
∴當(dāng)x=1時(shí)，1≤f（1）≤1，
即f（1）=0；
（Ⅱ）∵當(dāng)x∈R時(shí)，f（x）的最小值為0，且圖象關(guān)于直線x=-1對(duì)稱，
∴$\left\{\begin{array}{l}a+b+c=1\\-\frac{2a}=-1\\ \frac{4ac-^{2}}{4a}=0\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{4}\\ b=\frac{1}{2}\\ c=\frac{1}{4}\end{array}\right.$
∴f（x）=$\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}$；
（Ⅲ）若f（x）在區(qū)間[m-1，m]上恒有|f（x）-$\frac{{x}^{2}}{4}$|≤1，
則在區(qū)間[m-1，m]上恒有$|\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}|≤1$，
則$\left\{\begin{array}{l}-1≤\frac{1}{2}（m-1）+\frac{1}{4}≤1\\-1≤\frac{1}{2}m+\frac{1}{4}≤1\end{array}\right.$，
解得：m∈[-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$]

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．