如圖,在四棱錐中,底面為矩形, 為等邊三角形,,點為中點,平面平面.
(1)求異面直線和所成角的余弦值;
(2)求二面角的大小.
(1)異面直線和所成角的余弦值為;(2)二面角的大小為.
解析試題分析:(1)建立如圖所示坐標系,寫出各點的空間坐標,利用,夾角的余弦,得出兩異面直線和所成角的余弦值. (2)利用平面的法向量與平面的法向量的夾角,求出二面角的大小.
試題解析:
解:取的中點,連接,為等邊三角形,
,又平面平面, 2分
以為原點,過點垂直的直線為軸,為軸, 為軸建立如圖所示的空間直角坐標系.,不妨設,依題意可得:
3分
(1),
從而 ,
5分
于是異面直線和所成角的余弦值為.6分
(2)因為,所以是平面的法向量,8分
設平面的法向量為,又,
由 即,令得 10分
于是 11分
從而二面角的大小為. 12分
考點:異面直線所成的角,二面角,空間向量.
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
如圖(1),在三角形ABC中,BA=BC=2√乏,ZABC=900,點0,M,N分別為線段的中點,將AABO和AMNC分別沿BO,MN折起,使平面ABO與平面CMN都與底面OMNB垂直,如圖(2)所示.
(1)求證:AB//平面CMN;
(2)求平面ACN與平面CMN所成角的余
(3)求點M到平面ACN的距離.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形,且PC⊥平面ABCD,PC=AC=2,E是PA的中點。
(1)求證:AC⊥平面BDE;
(2)若直線PA與平面PBC所成角為30°,求二面角P-AD-C的正切值;
(3)求證:直線PA與平面PBD所成的角φ為定值,并求sinφ值。
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
(2013•天津)如圖,四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,側棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,
AA1=AB=2,E為棱AA1的中點.
(1)證明B1C1⊥CE;
(2)求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值.
(3)設點M在線段C1E上,且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為,求線段AM的長.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
如圖,在四棱錐中,平面,底面是直角梯形,,∥,且,,為的中點.
(1)設與平面所成的角為,二面角的大小為,求證:;
(2)在線段上是否存在一點(與兩點不重合),使得∥平面? 若存在,求的長;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四邊形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB=4,CD=1,點M在PB上,PB=4PM,PB與平面ABCD成30°的角.
求證:(1)CM∥平面PAD.
(2)平面PAB⊥平面PAD.
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