Question

16．已知等差數(shù)列{a_n}的公差d∈（-1，0），且$\frac{si{n}^{2}{a}_{3}co{s}^{2}{a}_{6}-co{s}^{2}{a}_{3}si{n}^{2}{a}_{6}}{sin（{a}_{2}+{a}_{7}）}$=1，僅當(dāng)n=9時(shí)，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n取得最大值，則首項(xiàng)a₁的取值范圍是（　�。�

• A． （$\frac{7π}{6}$，$\frac{4π}{3}$）
• B． [$\frac{7π}{6}$，$\frac{4π}{3}$]
• C． （$\frac{4π}{3}$，$\frac{3π}{2}$）
• D． [$\frac{4π}{3}$，$\frac{3π}{2}$]

Answer 1

分析 利用平方差公式、正弦加法定理、等差數(shù)列性質(zhì)求出sin3d=-1，由d∈（-1，0），得到d=-$\frac{π}{6}$，由僅當(dāng)n=9時(shí)，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n取得最大值，得到a₉＞0，且a₁₀＜0，由此能求出首項(xiàng)a₁的取值范圍．

解答 解：∵等差數(shù)列{a_n}的公差d∈（-1，0），且$\frac{si{n}^{2}{a}_{3}co{s}^{2}{a}_{6}-co{s}^{2}{a}_{3}si{n}^{2}{a}_{6}}{sin（{a}_{2}+{a}_{7}）}$=1，
∴$\frac{（sin{a}_{3}cos{a}_{6}-cos{a}_{3}sin{a}_{6}）（sin{a}_{3}cos{a}_{6}+cos{a}_{3}sin{a}_{6}）}{sin（{a}_{2}+{a}_{7}）}$
=$\frac{sin（{a}_{3}-{a}_{6}）sin（{a}_{3}+{a}_{6}）}{sin（{a}_{3}+{a}_{6}）}$=sin（a₃-a₆）=sin（-3d）=1，
∴sin3d=-1
∵d∈（-1，0），∴3d=-$\frac{π}{2}$，∴d=-$\frac{π}{6}$，
∵僅當(dāng)n=9時(shí)，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n取得最大值，
∴a₉＞0，且a₁₀＜0
∴${a}_{1}+8d={a}_{1}-\frac{4π}{3}＞0$，且${a}_{1}+9d={a}_{1}-\frac{3π}{2}$＜0，
解得$\frac{4π}{3}$$＜{a}_{1}＜\frac{3π}{2}$．
∴首項(xiàng)a₁的取值范圍是（$\frac{4π}{3}，\frac{3π}{2}$）．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的公差的取值范圍的求法，考查平方差公式、正弦加法定理、等差數(shù)列性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．