分析 (1)令x<0,則-x>0,由x>0時(shí),f(x)=x2-2x,可求得f(-x),而f(x)為定義在R上的奇函數(shù),從而可求得x<0時(shí)的解析式,最后用分段函數(shù)表示函數(shù)f(x)的解析式即可.
(2)根據(jù)函數(shù)的解析式,先畫出圖象,然后對(duì)a(要考慮函數(shù)的解析式及單調(diào)性)進(jìn)行分類討論即可求出函數(shù)的值域
解答 解:(1)令x<0,則-x>0,
∵x>0時(shí),f(x)=x2-2x,
∴f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x,
又f(x)為定義在R上的奇函數(shù),
∴f(-x)=-f(x)=-x2-2x.
當(dāng)x=0時(shí),f(x)=x2-2x=0,
∴f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{-x}^{2}-2x,x≤0\\{x}^{2}-2x,x>0\end{array}\right.$.
(2)f(x)的圖象的圖象如下圖所示:
f(-1)=1,由 f(x)=1,x>0得x=1+$\sqrt{2}$.
①當(dāng)-1<a≤1時(shí),函數(shù)在[-1,a]單調(diào)遞減,值域?yàn)閇f(a),1].
又x>0,f(x)=x2-2x,x<0,f(x)=-x2-2x.
則-1<a≤0時(shí),值域?yàn)閇-a2-2a,1],0<a≤1時(shí),值域?yàn)閇a2-2a,1].
②當(dāng)1<a≤1+$\sqrt{2}$時(shí),函數(shù)在[-1,1]上單調(diào)遞減,在[1,a]上單調(diào)遞增.
最小值在x=1處取得,最大值在x=-1處取得,此時(shí)值域?yàn)閇-1,1].
③當(dāng)a>1+$\sqrt{2}$時(shí),函數(shù)在[-1,1]上單調(diào)遞減,在[1,a]是單調(diào)遞增.
最大值在x=1處取得,最小值在x=a處取得.
此時(shí)函數(shù)的值域?yàn)閇-1,a2-2a].
綜上所述:當(dāng)-1<a≤0時(shí),值域?yàn)閇-a2-2a,1];
當(dāng)0<a≤1時(shí),值域?yàn)閇a2-2a,1];
當(dāng)1<a≤1+$\sqrt{2}$時(shí),值域?yàn)閇-1,1];
當(dāng)a>1+$\sqrt{2}$時(shí),函數(shù)的值域?yàn)閇-1,a2-2a].
點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)奇偶性的性質(zhì),熟練掌握函數(shù)奇偶性的定義和性質(zhì),是解答的關(guān)鍵.
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A. | $(\frac{{5-\sqrt{3}}}{4},1)$ | B. | $(1,\frac{{5+\sqrt{3}}}{4})$ | C. | $(\frac{1}{2},1)$ | D. | (1,2) |
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