Question

10．已知函數(shù)$y=\sqrt{x+2}•\sqrt{5-x}$的定義域為集合Q，集合P={x|a+1≤x≤2a+3}．
（1）若a=3，求（∁_RP）∩Q；
（2）若P∪Q=Q，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將a=3代入求出P，令函數(shù)解析式有意義，求出Q，結(jié)合集合的交集，補集運算的定理，可得（∁_RP）∩Q；
（2）若P∪Q=Q，則P⊆Q，分P=∅和P≠∅兩種情況，分別求出滿足條件的實數(shù)a的取值范圍，綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}x+2≥0\\ 5-x≤0\end{array}\right.$得：Q=[-2，5]．
若a=3，則集合P={x|a+1≤x≤2a+3}=[4，9]．
∴∁_RP=（-∞，4）∪（9，+∞），
∴（∁_RP）∩Q=[-2，4）
（2）P∪Q=Q?P⊆Q，
當P=∅時，即2a+3＜a+1，得a＜-2，此時有P=∅⊆Q；…．（7分）
當P≠∅時，由P⊆Q得：$\left\{{\begin{array}{l}{a+1≥-2}\\{2a+3≤5}\\{a+1≤2a+3}\end{array}}\right.$，
解得-2≤a≤1…（10分）
綜上有實數(shù)a的取值范圍是a≤1…（12分）

點評 本題考查的知識點是集合的交集，并集，補集運算，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．