Question

13．已知f（x）是定義在[-5，5]上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈（0.5]時(shí)，f（x）=log₂（3x+1）+m．
（1）若m=-1，求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-a，a]，求實(shí)數(shù)m的取值范圍及正數(shù)a的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用奇函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合x∈（0，5]時(shí)，f（x）=log₂（3x+1）-1，即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）由上面m=-1時(shí)f（x）的解析式得：$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{-m-lo{g}_{2}（1-3x）}&{x∈[-5，0）}\\{0}&{x=0}\\{lo{g}_{2}（3x+1）+m}&{x∈（0，5]}\end{array}\right.$；分類討論，結(jié)合函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-a，a]，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍及正數(shù)a的最小值．

解答 解：（1）若m=-1，x∈（0，5]時(shí)，f（x）=log₂（3x+1）-1；
∵f（x）在[-5，5]上為奇函數(shù)，設(shè)x∈[-5，0），-x∈（0，5]，則：
f（-x）=log₂（1-3x）-1=-f（x）；
∴f（x）=1-log₂（1-3x）；
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{1-lo{g}_{2}（1-3x）}&{x∈[-5，0）}\\{0}&{x=0}\\{lo{g}_{2}（3x+1）-1}&{x∈（0，5]}\end{array}\right.$；
（2）由上面m=-1時(shí)f（x）的解析式得：$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{-m-lo{g}_{2}（1-3x）}&{x∈[-5，0）}\\{0}&{x=0}\\{lo{g}_{2}（3x+1）+m}&{x∈（0，5]}\end{array}\right.$；
可看出：①x∈[-5，0）時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，f（-5）≤f（x）＜f（0）；
即-m-4≤f（x）＜-m；
②x∈（0，5]時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，m＜f（x）≤m+4；
∵f（x）的值域?yàn)閇-a，a]；
∴-2≤m≤0，f（x）的值域?yàn)閇-m-4，m+4]，-4≤m≤-2，f（x）的值域?yàn)閇m，-m]；
∴正數(shù)a的最小值是2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)解析式的確定，考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．