Question

11．若對于任意的x∈[1，2]，不等式$\frac{1+ax}{x•{2}^{x}}$≥1恒成立，則實數(shù)a的最小值為$\frac{7}{2}$．

Answer 1

分析 若對于任意的x∈[1，2]，不等式$\frac{1+ax}{x•{2}^{x}}$≥1恒成立，則對于任意的x∈[1，2]，不等式a≥2^x-$\frac{1}{x}$恒成立，結合函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，可得答案．

解答 解：若對于任意的x∈[1，2]，不等式$\frac{1+ax}{x•{2}^{x}}$≥1恒成立，
即對于任意的x∈[1，2]，不等式1+ax≥x•2^x恒成立，
即對于任意的x∈[1，2]，不等式ax≥x•2^x-1恒成立，
即對于任意的x∈[1，2]，不等式a≥2^x-$\frac{1}{x}$恒成立，
由y=2^x，x∈[1，2]為增函數(shù)，y=$\frac{1}{x}$，x∈[1，2]為減函數(shù)，
故y=2^x-$\frac{1}{x}$，x∈[1，2]為增函數(shù)，
故當x=2時，y取最大值$\frac{7}{2}$，
即a≥$\frac{7}{2}$，
故實數(shù)a的最小值為$\frac{7}{2}$，
故答案為：$\frac{7}{2}$．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)恒成立問題，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，是解答的關鍵．