Question

2．已知函數(shù)f（x）的定義域D⊆（0，+∞），若f（x）滿足對任意的一個三邊長為a，b，c∈D的三角形，都有f（a），f（b），f（c）也可以成為一個三角形的三邊長，則稱f（x）為“保三角形函數(shù)”．
（1）判斷g（x）=sinx，x∈（0，π）是否為“保三角形函數(shù)”，并說明理由；
（2）證明：函數(shù)h（x）=lnx，x∈[2，+∞）是“保三角形函數(shù)”；
（3）若f（x）=sinx，x∈（0，λ）是“保三角形函數(shù)”，求實數(shù)λ的最大值．

Answer 1

分析 欲判斷函數(shù)f（x）是不是“保三角形函數(shù)”，只須任給三角形，設(shè)它的三邊長a、b、c滿足a+b＞c，判斷f（a）、f（b）、f（c）是否滿足任意兩數(shù)之和大于第三個數(shù)，即任意兩邊之和大于第三邊即可．因此假設(shè)a≤c且b≤c，在各個選項中根據(jù)定義和函數(shù)對應(yīng)法則進(jìn)行求解判斷即可．

解答 解：（1）若a=$\frac{π}{3}$，b=$\frac{π}{3}$，c=$\frac{π}{2}$，
則f（a）=f（b）=sin$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$，f（c）=sin$\frac{π}{2}$=1，
則f（a）+f（b）=$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$=1，不滿足f（a）+f（b）＞f（c）
故f（x）=sinx，不是“保三角形函數(shù)”．
（2）對任意一個三角形三邊長a，b，c∈[2，+∞），且a+b＞c，b+c＞a，c+a＞b，
則h（a）=lna，h（b）=lnb，h（c）=lnc．
因為a≥2，b≥2，a+b＞c，所以（a-1）（b-1）≥1，所以ab≥a+b＞c，所以lnab＞lnc，
即lna+lnb＞lnc．
同理可證明lnb+lnc＞lna，lnc+lna＞lnb．
所以lna，lnb，lnc是一個三角形的三邊長．
故函數(shù)h（x）=lnx （x∈[2，+∞））．
（3）λ的最大值是$\frac{5π}{6}$．
①當(dāng)λ＞$\frac{5π}{6}$時，取a=$\frac{5π}{6}$=b，c=$\frac{π}{2}$，顯然這3個數(shù)屬于區(qū)間（0，λ），且可以作為某個三角形的三邊長，
但這3個數(shù)的正弦值$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{2}$、1顯然不能作為任何一個三角形的三邊，故此時，h（x）=sinx，x∈（0，λ）不是保三角形函數(shù)．
②當(dāng)λ=$\frac{5π}{6}$時，對于任意的三角形的三邊長a、b、c∈（0，$\frac{5π}{6}$），
若a+b+c≥2π，則a≥2π-b-c＞2π-$\frac{5π}{6}$-$\frac{5π}{6}$=$\frac{π}{3}$，
即 a＞$\frac{π}{3}$，同理可得b＞$\frac{π}{3}$，c＞$\frac{π}{3}$，∴a、b、c∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$），
∴sina、sinb、sinc∈（$\frac{1}{2}$，1]．
由此可得 sina+sinb＞$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=1≥sinc，即 sina+sinb＞sinc，同理可得sina+sinc＞sinb，sinb+sinc＞sina，
故sina、sinb、sinc 可以作為一個三角形的三邊長．
若a+b+c＜2π，則$\frac{a+b}{2}$+$\frac{c}{2}$＜π，
當(dāng)$\frac{a+b}{2}$≤$\frac{π}{2}$時，由于a+b＞c，∴0＜$\frac{c}{2}$＜$\frac{a+b}{2}$≤$\frac{π}{2}$，∴0＜sin$\frac{c}{2}$＜sin$\frac{a+b}{2}$≤1．
當(dāng)$\frac{a+b}{2}$＞$\frac{π}{2}$時，由于a+b＞c，∴0＜$\frac{c}{2}$＜$\frac{a+b}{2}$＜$\frac{π}{2}$，∴0＜sin$\frac{c}{2}$＜sin$\frac{a+b}{2}$＜1．
綜上可得，0＜sin$\frac{c}{2}$＜sin$\frac{a+b}{2}$≤1．
再由|a-b|＜c＜$\frac{5π}{6}$，以及y=cosx在（ 0，π）上是減函數(shù)，可得 cos$\frac{a-b}{2}$=cos$\frac{|a-b|}{2}$＞cos$\frac{c}{2}$＞cos$\frac{5π}{12}$＞0，
∴sina+sinb=2sin$\frac{a+b}{2}$cos$\frac{a-b}{2}$＞2sin$\frac{c}{2}$cos$\frac{c}{2}$=sinc，同理可得sina+sinc＞sinb，sinb+sinc＞sina，
故sina、sinb、sinc 可以作為一個三角形的三邊長．
故當(dāng)λ=$\frac{5π}{6}$時，h（x）=sinx，x∈（0，M）是保三角形函數(shù)，故λ的最大值為$\frac{5π}{6}$，

點評 本題主要考查新定義的應(yīng)用，要想判斷f（x）為“保三角形函數(shù)”，要經(jīng)過嚴(yán)密的論證說明f（x）滿足“保三角形函數(shù)”的概念，但要判斷f（x）不為“保三角形函數(shù)”，僅須要舉出一個反例即可，屬于創(chuàng)新題．