Question

1．已知函數(shù)f（x）=2ax²+3b（a，b∈R），若對(duì)于任意x∈[-1，1]，都有|f（x）|≤1成立，則ab的最大值是$\frac{1}{24}$．

Answer 1

分析 由對(duì)于任意x∈[-1，1]，都有|f（x）|≤1成立，可得（a，b）對(duì)應(yīng)的可行域，進(jìn)而根據(jù)基本不等式得到ab的最大值．

解答 解：函數(shù)f（x）=2ax²+3b圖象的頂點(diǎn)為（0，3b），
若若對(duì)于任意x∈[-1，1]，都有|f（x）|≤1成立，
則$\left\{\begin{array}{l}-1≤2a+3b≤1\\-1≤3b≤1\end{array}\right.$，
其對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如下圖所示：

令Z=ab，則在第一，三象限a，b同號(hào)時(shí)ab取最大值，
由2a+3b=1，a＞0，b＞0得：ab≤$\frac{（2a+3b）^{2}}{24}$=$\frac{1}{24}$，
故答案為：$\frac{1}{24}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是恒成立問題，線性規(guī)劃，基本不等式，是不等式和函數(shù)的綜合應(yīng)用，難度中檔．