Question

1．已知函數(shù)f（x）=e^x-1-$\frac{4a-3}{6x}$，g（x）=$\frac{1}{3}$ax²+$\frac{1}{2}$x-（a-1）．
（Ⅰ）曲線f（x）在x=1處的切線與直線x+2y-1=0垂直，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）當(dāng)a=-$\frac{3}{4}$時(shí)，求證：f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
（Ⅲ）當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在x=1時(shí)的導(dǎo)數(shù)，由f（x）在x=1處的切線與直線x+2y-1=0垂直列式求得實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）把a(bǔ)=-$\frac{3}{4}$代入函數(shù)解析式，求導(dǎo)后由導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)可得f（x）在（1，+∞）上單調(diào)性；
（Ⅲ）令h（x）=f（x）-g（x），求導(dǎo)后對(duì)a分類(lèi)，分a≤1和a＞1求得函數(shù)h（x）在（1，+∞）上的最值，利用函數(shù)h（x）的最小值大于等于0求得a的取值范圍．

解答 （Ⅰ）解：${f}^{′}（x）={e}^{x-1}+\frac{4a-3}{6{x}^{2}}$，
依題意得：${f}^{′}（1）•（-\frac{1}{2}）=（1+\frac{4a-3}{6}）×（-\frac{1}{2}）=-1$，
解得：$a=\frac{9}{4}$；                             
（Ⅱ）證明：當(dāng)$a=-\frac{3}{4}$時(shí)，$f（x）={e}^{x-1}+\frac{1}{x}$，
∴${f}^{′}（x）={e}^{x-1}-\frac{1}{{x}^{2}}$．
∴${f}^{″}（x）={e}^{x-1}+\frac{2}{{x}^{3}}＞0$對(duì)x∈（1，+∞）成立，
即：f′（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，
又f′（1）=0，故f′（x）＞0對(duì)x∈（1，+∞）成立，
∴f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)；              
（Ⅲ）解：由f（x）≥g（x），
得：$x•{e}^{x-1}-\frac{1}{3}a{x}^{3}-\frac{1}{2}{x}^{2}+（a-1）x$$+\frac{1}{2}-\frac{2}{3}a≥0$（x≥1），
設(shè)$h（x）=x•{e}^{x-1}-\frac{1}{3}a{x}^{3}-\frac{1}{2}{x}^{2}+（a-1）x$$+\frac{1}{2}-\frac{2}{3}a$（x≥1），
∴h′（x）=（x+1）e^x-1-ax²-x+a-1=（x+1）[e^x-1-a（x-1）-1]（x≥1），
設(shè)k（x）=e^x-1-a（x-1）-1（x≥1），
∴k′（x）=e^x-1-a．
①當(dāng)a≤1時(shí)：k′（x）≥0對(duì)x∈[1，+∞）成立，
又k（1）=0，故k（x）≥0，即：h′（x）≥0．
又h（1）=0，故h（x）≥0；           
②當(dāng)a＞1時(shí)：由k′（x）=0，得x=1+lna＞1，
當(dāng)x∈（1，1+lna）時(shí)：k′（x）＜0，
又k（1）=0，故：k（x）＜0，即：h′（x）＜0，
又h（1）=0，故h（x）＜0這與已知不符．
綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，訓(xùn)練了函數(shù)恒成立問(wèn)題的截距方法，函數(shù)構(gòu)造法和分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法是解決該題的關(guān)鍵，是中檔題．