Question

16．在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=2\sqrt{5}+t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），在極坐標系中（與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸），曲線C₁的極坐標方程為ρ=2．
（Ⅰ）判斷直線l與曲線C₁的位置關(guān)系；
（Ⅱ）已知曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），且M，N分別為曲線C₂的上下頂點，點P為曲線C₁上任意一點，試判斷|PM|²+|PN|²是否為定值？并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=2\sqrt{5}+t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去t可得直角坐標方程，由曲線C₁的極坐標方程為ρ=2，即ρ²=4．可得曲線C₁的直角坐標方程為x²+y²=4，圓心為C₁，r，求出圓心C₁到直線l的距離為d與半徑比較即可得出．
（Ⅱ）由曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），可得曲線C₂的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，可得曲線C₂的上下頂點M，N．由曲線C₁，可得其參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$，利用兩點之間的距離公式可得|PM|²+|PN|²，即可證明．

解答 解：（Ⅰ）∵直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=2\sqrt{5}+t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），可得直角坐標方程為2x-y+2$\sqrt{5}$=0，
又∵曲線C₁的極坐標方程為ρ=2，即ρ²=4．
∴曲線C₁的直角坐標方程為x²+y²=4，圓心為C₁（0，0），r=2，
∴圓心C₁到直線l的距離為d=$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$=2=r，
∴直線l與曲線C₁相切．
（Ⅱ）∵曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
∴曲線C₂的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
又∵M，N分別為曲線C₂的上下頂點，
∴M$（0，\sqrt{3}）$，N$（0，-\sqrt{3}）$，）
由曲線C₁，可得其參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$，
∴P點坐標為（2cosα，2sinα），
因此|PM|²+|PN|²=$（2cosα）^{2}+（2sinα-\sqrt{3}）^{2}$+（2cosα）²+$（2sinα+\sqrt{3}）^{2}$=7-4$\sqrt{3}$sinα+7+$4\sqrt{3}sinα$=14為定值．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、兩點之間的距離公式、直線與圓的位置關(guān)系、橢圓的參數(shù)方程，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．