Question

4．函數(shù)f（x）=ax³+x²+x有極值的充要條件是a＜$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 若a≠0，三次函數(shù)f（x）=ax³+x²+x有極值，f′（x）=0有不相等的兩個(gè)解，利用判別式即可求得結(jié)論，若a=0，函數(shù)為二次函數(shù)可知有極值．

解答 解：求得導(dǎo)函數(shù)f′（x）=3ax²+2x+1，
若a≠0，三次函數(shù)f（x）有極值，則f′（x）=0有不相等的兩個(gè)解，
∴△=4-12a＞0，∴a＜$\frac{1}{3}$，
若a=0，導(dǎo)函數(shù)f′（x）=3ax²+2x+1=2x+1
令f′（x）＞0，則x＞-$\frac{1}{2}$；令f′（x）＜0，則x＜-$\frac{1}{2}$；
∴函數(shù)在x=-$\frac{1}{2}$處取得極小值．
綜上得，a＜$\frac{1}{3}$
故答案為：a＜$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系，以及充要條件的判斷，屬于中檔題．