Question

7．函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的圖象與y軸的交點為（0，$\sqrt{3}$），它的一個對稱中心是M（$\frac{π}{3}$，0），點M與最近的一條對稱軸的距離是$\frac{π}{4}$．
（1）求此函數的解析式；
（2）求此函數取得最大值時x的取值集合；
（3）當x∈（0，π）時，求此函數的單調遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由函數的周期性、圖象的對稱性求出ω、φ的值，由特殊點的坐標求出A的值，可得函數的解析式．
（2）利用正弦函數的最大值，求得函數取得最大值時x的取值集合．
（3）利用正弦函數的調增區(qū)間，求得當x∈（0，π）時，此函數的單調遞增區(qū)間．

解答 解：（1）函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的圖象
的一個對稱中心是M（$\frac{π}{3}$，0），點M與最近的一條對稱軸的距離是$\frac{π}{4}$，故$\left\{\begin{array}{l}{ω•\frac{π}{3}+φ=kπ，k∈Z}\\{\frac{1}{4}•\frac{2π}{ω}=\frac{π}{4}}\end{array}\right.$，
求得ω=2，φ=$\frac{π}{3}$．
再根據函數的圖象與y軸的交點為（0，$\sqrt{3}$），可得Asin（ω•0+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，∴A=2，
函數f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（2）令2x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，求得 x=kπ+$\frac{π}{12}$，k∈Z，故函數取得最大值時x的取值集合為{x|x=kπ+$\frac{π}{12}$，k∈Z}．
（3）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，可得函數的增區(qū)間為[2kπ-$\frac{5π}{12}$，2kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z．
再結合x∈（0，π），可得函數的增區(qū)間為（0，$\frac{π}{12}$]、[$\frac{7π}{12}$，π）．

點評 本題主要考查由函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數的周期性、圖象的對稱性求出ω、φ的值，由特殊點的坐標求出A的值，正弦函數的最大值及單調增區(qū)間，屬于中檔題．