Question

6．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a²+b²=4a+2b-5，且a²=b²+c²-bc．
（1）求c；
（2）求sinB．

Answer 1

分析 （1）由于a²+b²=4a+2b-5，配方為（a-2）²+（b-1）²=0，解得a，b．代入a²=b²+c²-bc．可得c．
（2）利用余弦定理可得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$，可得sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$．

解答 解：（1）在△ABC中，∵a²+b²=4a+2b-5，∴（a-2）²+（b-1）²=0，
解得a=2，b=1．
∵a²=b²+c²-bc．
∴2²=1²+c²-c，化為c²-c-3=0，
解得c=$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$．
（2）cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{\sqrt{13}}{4}$，
∵B∈（0，π），
∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了余弦定理、方程的解法、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．