Question

18．求下列函數(shù)的值域
（1）y=$\frac{x^2-1}{x^2+1}$；（2）y=$\frac{x^2-x}{x^2-x+1}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)x²=$\frac{y+1}{1-y}$≥0的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．
（2）利用判別式法進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：（1）y=$\frac{x^2-1}{x^2+1}$；得（x²+1）y=x²-1，
即（1-y）x²=y+1，
當(dāng)y=1時，0=2不成立，
則y≠1，
則x²=$\frac{y+1}{1-y}$，
由x²=$\frac{y+1}{1-y}$≥0得-1≤y＜1，
即函數(shù)的值域是[-1，1）．
（2）∵x²-x+1=（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
∴函數(shù)的定義域是R，
則由y=$\frac{x^2-x}{x^2-x+1}$得（x²-x+1）y=x²-x，
即（y-1）x²+（1-y）x+y=0，
當(dāng)y=1時，1=0不成立，
則y≠1，
則由判別式△≥0得（1-y）²-4y（y-1）=（y-1）（-1-3y）≥0，
得$-\frac{1}{3}$≤y≤1，
∵y≠1，
∴$-\frac{1}{3}$≤y＜1
即函數(shù)的值域為[$-\frac{1}{3}$，1）．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)值域的求解，利用轉(zhuǎn)化思想，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，以及判別式法是解決本題的關(guān)鍵．