Question

3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=3t+a}\end{array}\right.$，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$）．
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）若直線l過點(diǎn)（2，3），求直線l被圓C截得的弦長．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的關(guān)系，結(jié)合兩角和的余弦公式，化簡即可得到；
（2）求得圓的圓心和半徑，運(yùn)用弦長公式和點(diǎn)到直線的距離公式，計(jì)算即可得到所求距離．

解答 解：（1）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$），
即為ρ=2$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosθ-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinθ）=2cosθ-2sinθ，
即ρ²=2ρcosθ-2ρsinθ，
即有x²+y²-2x+2y=0；
（2）直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=3t+a}\end{array}\right.$，
化為普通方程為y=3x+a，
直線l過點(diǎn)（2，3），即有a=3-6=-3，
則直線l的方程為y=3x-3，
圓C的圓心為（1，-1），半徑為$\sqrt{2}$，
圓心到直線的距離d=$\frac{|3-3+1|}{\sqrt{1+9}}$=$\frac{1}{\sqrt{10}}$，
即有直線l被圓C截得的弦長為2$\sqrt{2-\frac{1}{10}}$=$\frac{\sqrt{190}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和普通方程的互化，考查直線和圓的位置關(guān)系，以及弦長公式的運(yùn)用，屬于中檔題．