Question

9．如圖所示，拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)T（-1，m），過(guò)F作TF的垂線交拋物線于P，Q兩點(diǎn)，弦PQ的中點(diǎn)為N．
（1）證明：線段NT平行于x軸（或在x軸上）；
（2）若m＞0且|NF|=|TF|，求m的值及點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）證明N的縱坐標(biāo)為m，即可證明線段NT平行于x軸（或在x軸上）；
（2）若m＞0且|NF|=|TF|，PQ的斜率為$\sqrt{3}$，即可求m的值及點(diǎn)N的坐標(biāo)．

解答 （1）證明：由題意，F(xiàn)（1，0），k_TF=-$\frac{m}{2}$，
∴PQ的方程為y=$\frac{2}{m}$（x-1），
與y²=4x消去x，可得y²-2my-4=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），∴y₁+y₂=2m，
∵弦PQ的中點(diǎn)為N，∴N的縱坐標(biāo)為m，
∵動(dòng)點(diǎn)T（-1，m），
∴線段NT平行于x軸（或在x軸上）；
（2）解：若m＞0且|NF|=|TF|，則△NTF是等腰直角三角形，
∴PQ的斜率為1，
∴$\frac{2}{m}$=1，∴m=2．
∴點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為2，
代入y=x-1，可得x=3，
∴N（3，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程與性質(zhì)，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．