Question

20．已知平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$滿足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=1，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$|=|$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$|，則|$\overrightarrow{c}$|的最大值為（　　）

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． 1

Answer 1

分析 作向量$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，設(shè)向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為α，由三角形的全等可得OC垂直平分AB，設(shè)AB=t，t=2sin$\frac{α}{2}$，
即有|$\overrightarrow{c}$|=cos$\frac{α}{2}$+$\sqrt{3}$sin$\frac{α}{2}$=2sin（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{6}$），再由正弦函數(shù)的值域，即可得到所求最大值．

解答 解：作向量$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，
設(shè)向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為α，
由題意可得OA=OB，CA=CB=AB，
可得△CAO≌△CBO，
即有OC垂直平分AB，
設(shè)AB=t，t=2sin$\frac{α}{2}$，
等邊三角形ABC的高CH為$\frac{\sqrt{3}}{2}$•t=$\sqrt{3}$sin$\frac{α}{2}$，
則|$\overrightarrow{c}$|=cos$\frac{α}{2}$+$\sqrt{3}$sin$\frac{α}{2}$=2sin（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{6}$），
當(dāng)$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即α=$\frac{2π}{3}$時，取得最大值，且為2．
故選：B．

點評 本題考查向量的模的最值的求法，注意運用向量的加減運算和三角函數(shù)的化簡和求值，以及正弦函數(shù)的值域，屬于中檔題．