Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，側面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，∠ABC=45°，AD=AP=2， ，E為CD的中點，點F在線段PB上．
（Ⅰ）求證：AD⊥PC；
（Ⅱ）試確定點F的位置，使得直線EF與平面PDC所成的角和直線EF與平面ABCD所成的角相等．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：在平行四邊形ABCD中，連接AC， 因為 ，BC=2，∠ABC=45°，
由余弦定理得 ，∴AC=2，
∴AC2+BC2=AB2 ， ∴BC⊥AC，
又AD∥BC，∴AD⊥AC，
∵AD=AP=2， ，∴AD2+AP2=DP2 ， ∴PA⊥AD，
又AP∩AC=A，AP平面PAC，AC平面PAC，
∴AD⊥平面PAC，∵PC平面PAC，
∴AD⊥PC．

（Ⅱ）∵側面PAD⊥底面ABCD，側面PAD∩底面ABCD=AD，PA⊥AD，PA平面PAD，
∴PA⊥底面ABCD，
以A為原點，以直線DA，AC，AP坐標軸建立如圖所示空間直角坐標系A﹣xyz，
則A（0，0，0），D（﹣2，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），E（﹣1，1，0），P（0，0，2），
所以 ， ， ，設 （λ∈[0，1]），
則 ，F(xiàn)（2λ，2λ，﹣2λ+2），
∴ ，
平面ABCD的一個法向量為 =（0，0，1）．
設平面PDC的法向量為 =（x，y，z），則 ，
∴ ，令x=1，得 =（1，﹣1，﹣1）．
∵直線EF與平面PDC所成的角和此直線與平面ABCD所成的角相等，
∴|cos＜ ＞|=|cos＜ ＞|，
即 = ，∴2﹣2λ= ，解得 ，
∴當 時，直線EF與平面PDC所成的角和直線EF與平面ABCD所成的角相等．

【解析】（I）利用勾股定理的逆定理證明AD⊥AP，BC⊥AC，從而AD⊥平面PAC，得出AD⊥PC；（II）由面面垂直的性質(zhì)可得AP⊥平面ABCD，建立空間坐標系，設 /span> =λ，求出平面PCD的法向量 和平面ABCD的法向量 ，令|cos＜ ＞|=|cos＜ ＞|，解出λ即可．
【考點精析】本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關系和空間角的異面直線所成的角的相關知識點，需要掌握相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能正確解答此題．