Question

4．用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n∈N⁺時(shí)，1+2²+3³+…+nⁿ＜（n+1）ⁿ．

Answer 1

分析 直接利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，n=1時(shí)驗(yàn)證不等式成立，假設(shè)n=k時(shí)不等式成立，然后證明n=k+1時(shí)，不等式也成立．

解答 證明：利用數(shù)學(xué)歸納法證明．
①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1，右邊=2，左邊＜右邊，不等式成立；
②假設(shè)n=k時(shí)，不等式成立，即1+2²+3³+…+k^k＜（k+1）^k．
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，1+2²+3³+…+k^k+（k+1）^k+1＜（k+1）^k+（k+1）^k+1=（k+1）^k（1+k+1）=（k+1）^k（k+2）＜（k+2）^k（k+2）＜（k+2）^k+1，
這就是說(shuō)，n=k+1時(shí)，不等式也成立．
由①②可知，當(dāng)n∈N⁺時(shí)，1+2²+3³+…+nⁿ＜（n+1）ⁿ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列在不等式證明中的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，注意用上假設(shè)是證明問(wèn)題的關(guān)鍵，是中檔題．