Question

14．已知f（x）=x²+ax-$\frac{b^2}{4}+1{，_{\;}}$g（x）=2x，
（1）若A={t∈N^*|t²-10t+9≤0}，當(dāng)a，b∈A時(shí)，求f（x）＞g（x）恒成立的概率；
（2）若B=[0，9]，當(dāng)a，b∈B時(shí)，求f（x）＞g（x）恒成立的概率．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）＞g（x）恒成立的等價(jià)條件，利用列舉法即可求出對(duì)應(yīng)的概率．
（2）求出滿足條件的對(duì)應(yīng)區(qū)域的面積，利用幾何概型的概率公式進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 解：（1）A={t∈N^*|t²-10t+9≤0}={t∈N^*|1≤t≤9}={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，
a，b∈A時(shí)，a，b共有9×9=81種組合，
若f（x）＞g（x）恒成立，
即x²+ax-$\frac{^{2}}{4}$+1＞2x恒成立，
即x²+（a-2）x-$\frac{^{2}}{4}$+1＞0，
則判別式△=（a-2）²-4（-$\frac{^{2}}{4}$+1）=（a-2）²+b²-4＜0，
即（a-2）²+b²＜4，
則滿足條件的a，b是（1，1），（2，1），（3，1）共有3個(gè)，
則對(duì)應(yīng)的概率P=$\frac{3}{81}$=$\frac{1}{27}$．
（2）若B=[0，9]，當(dāng)a，b∈B時(shí)，對(duì)應(yīng)的區(qū)域是邊長(zhǎng)為9的正方形，面積S=9×9=81，
滿足f（x）＞g（x）恒成立的a，b滿足（a-2）²+b²＜4，
則對(duì)應(yīng)的區(qū)域在第一象限部分的面積S=$\frac{1}{2}×π×{2}^{2}$=2π，
則對(duì)應(yīng)的概率P=$\frac{2π}{81}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查古典概型和幾何概型的概率的計(jì)算，利用列舉法以及求出對(duì)應(yīng)區(qū)域面積的方法是解決本題的關(guān)鍵．