Question

1．甲、乙兩人進(jìn)行五局三勝制羽毛球比賽，除第五局兩人獲勝的機(jī)會(huì)相等，其余各局甲獲勝的概率都是$\frac{2}{3}$，記X為比賽的局?jǐn)?shù)，每局比賽結(jié)果相互獨(dú)立．
（1）試求甲3：0獲勝的概率；
（2）求X的分布列及數(shù)學(xué)期望值E（X）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)甲3：0獲勝，可判斷前3局甲勝，連打3局即可，運(yùn)用概率公式求解即可．
（2）判斷隨機(jī)變量的值，X=3，4，5，分甲勝，或乙勝，運(yùn)用概率乘法公式求解即可．列出分布列，求解數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）∵甲3：0獲勝，
∴前3局甲勝，乙輸，
甲3：0獲勝的概率為P₁=（$\frac{2}{3}$）³=$\frac{8}{27}$；
（2）X為比賽的局?jǐn)?shù)，每局比賽結(jié)果相互獨(dú)立．
則X=3，4，5，分甲勝，或乙勝，
P（X=3）=$\frac{8}{27}$+（$\frac{1}{3}$）³=$\frac{9}{27}$=$\frac{1}{3}$，
P（X=4）=${C}_{3}^{2}$（$\frac{2}{3}$）²×$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{3}$+${C}_{3}^{2}$×（$\frac{1}{3}$）²×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{8}{27}$$+\frac{2}{27}$=$\frac{10}{27}$，
P（X=5）=${C}_{4}^{2}$（$\frac{2}{3}$）²×（$\frac{1}{3}$）²[$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$]=$\frac{8}{27}$

X	3	4	5
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{10}{27}$	$\frac{8}{27}$

E（X）=3×$\frac{1}{3}$$+4×\frac{10}{27}$$+5×\frac{8}{27}$=3

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，以及離散型隨機(jī)變量的期望與分布列，同時(shí)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題