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9．設等差數列{an}的前n項和為Sn，若a1a5a9=15，且$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{5}}$+$\frac{1}{{a}_{5}{a}_{9}}$+$\frac{1}{{a}_{9}{a}_{1}}$=$\frac{3}{5}$，則S9=27．

分析 等差數列{an}的公差為d，由a1a5a9=15，可得（a5-4d）a5（a5+4d）=15．由$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{5}}$+$\frac{1}{{a}_{5}{a}_{9}}$+$\frac{1}{{a}_{9}{a}_{1}}$=$\frac{3}{5}$，可得$\frac{1}{4d}（\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{5}}）$+$\frac{1}{4d}（\frac{1}{{a}_{5}}-\frac{1}{{a}_{9}}）$+$\frac{1}{8d}（\frac{1}{{a}_{9}}-\frac{1}{{a}_{1}}）$=$\frac{3}{5}$，可得$\frac{1}{8d}（\frac{1}{{a}_{5}-4d}-\frac{1}{{a}_{5}+4d}）$=$\frac{3}{5}$．
解得a5，利用S9=$\frac{9（{a}_{1}+{a}_{9}）}{2}$=9a5即可得出．

解答 解：設等差數列{an}的公差為d，
∵a1a5a9=15，∴（a5-4d）a5（a5+4d）=15．
∵$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{5}}$+$\frac{1}{{a}_{5}{a}_{9}}$+$\frac{1}{{a}_{9}{a}_{1}}$=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{1}{4d}（\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{5}}）$+$\frac{1}{4d}（\frac{1}{{a}_{5}}-\frac{1}{{a}_{9}}）$+$\frac{1}{8d}（\frac{1}{{a}_{9}}-\frac{1}{{a}_{1}}）$=$\frac{3}{5}$，
化為$\frac{1}{8d}$$（\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{9}}）$=$\frac{3}{5}$，即$\frac{1}{8d}（\frac{1}{{a}_{5}-4d}-\frac{1}{{a}_{5}+4d}）$=$\frac{3}{5}$．
解得a5=3，
則S9=$\frac{9（{a}_{1}+{a}_{9}）}{2}$=9a5=27．
故答案為：27．

點評 本題考查了等差數列的通項公式及其性質、前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．

練習冊系列答案
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