Question

18．已知a＜2，函數(shù)f（x）=（x²+ax+a）e^x．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若f（x）的極大值是$\frac{6}{{e}^{2}}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=1時(shí)，f′（x）=（x²+3x+2）e^x，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）f′（x）=[x²+（a+2）x+2a]e^x，由f′（x）=0，得x=-2，或x=-a，列表討論，能求出a的值．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=（x²+x+1）e^x，
∴f′（x）=（x²+3x+2）e^x，
由f′（x）≥0，得x≤-2，或x≥-1，
∴f（x）的增區(qū)間為（-∞，-2]，[-1，+∞）．
（2）f′（x）=[x²+（a+2）x+2a]e^x，
由f′（x）=0，得x=-2，或x=-a，
列表討論，得：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，-a）	-a	（-a，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

∴x=-2時(shí)，f（x）取得極大值，
又f（-2）=（4-a）•e^-2，f（x）的極大值是6•e^-2，
∴（4-a）•e^-2=6•e^-2，解得a=-2．
∴a的值為-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．