Question

20．已知指數(shù)函數(shù)f（x）=a^x（a＞0且a≠1）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，4）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）令g（x）=f（x）+λf（-x），若不等式$g（x）≥\frac{1}{2}$在x∈[0，1]上恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把定點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，求得a值可得f（x）的解析式；
（2）把f（x）代入g（x）=f（x）+λf（-x），由不等式$g（x）≥\frac{1}{2}$在x∈[0，1]上恒成立，可得$λ≥-（{2}^{x}）^{2}+\frac{1}{2}•{2}^{x}$，換元后利用二次函數(shù)求得最值得答案．

解答 解：（1）∵f（x）=a^x（a＞0且a≠1）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，4），
∴a²=4，解得a=2．
∴f（x）=2^x；
（2）g（x）=f（x）+λf（-x）=2^x+λ•2^-x，
∵不等式$g（x）≥\frac{1}{2}$在x∈[0，1]上恒成立，
∴${2}^{x}+λ•{2}^{-x}≥\frac{1}{2}$恒成立，即$λ≥-（{2}^{x}）^{2}+\frac{1}{2}•{2}^{x}$，
令t=2^x，
∵x∈[0，1]，∴t∈[1，2]，
∵函數(shù)h（t）=$-{t}^{2}+\frac{1}{2}t$在t∈[1，2]上為減函數(shù)，
∴$h（t）_{max}=h（1）=-\frac{1}{2}$，則$λ≥-\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查指數(shù)式的圖象和性質(zhì)，考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題，訓(xùn)練了分離變量法，是中檔題．