Question

【題目】已知f（x）=sin2（2x﹣ ）﹣2tsin（2x﹣ ）+t2﹣6t+1（x∈[ ， ]）其最小值為g（t）．
（1）求g（t）的表達(dá)式；
（2）當(dāng)﹣ ≤t≤1時(shí)，要使關(guān)于t的方程g（t）=kt有一個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵x∈[ ， ]，

∴sin（2x﹣ ）∈[﹣ ，1]，

∴f（x）=[sin（2x﹣ ﹣t]2﹣6t+1，

當(dāng)t＜﹣ 時(shí)，則當(dāng)sinx=﹣ 時(shí)，f（x）min= ；

當(dāng)﹣ ≤t≤1時(shí)，當(dāng)sinx=t時(shí)，f（x）min=﹣6t+1；

當(dāng)t＞1時(shí)，當(dāng)sinx=1時(shí)，f（x）min=t2﹣8t+2；

∴g（t）=

（2）解：當(dāng) 時(shí)，g（t）=﹣6t+1．令h（t）=g（t）﹣kt．

欲使g（t）=kt有一個(gè)實(shí)根，則只需使 或 即可．

解得k≤﹣8或k≥﹣5．

【解析】（1）利用x的范圍確定sin（2x﹣ ），對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)整理，對(duì)t進(jìn)行分類討論，利用拋物線的性質(zhì)求得每種情況的g（t）的解析式，最后綜合．（2）根據(jù)（1）中獲得當(dāng) 時(shí)g（t）的解析式，令h（t）=g（t）﹣kt，要使g（t）=kt有一個(gè)實(shí)根需h（﹣ ）和h（1）異號(hào)即可．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的三角函數(shù)的最值，需要了解函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最小值為；當(dāng)時(shí)，取得最大值為，則，，才能得出正確答案．