Question

5．設(shè)△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a²sinC=4sinA，（ca+cb）（sinA-sinB）=sinC（2$\sqrt{7}$-c²），則△ABC的面積為$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 由正弦定理化簡(jiǎn)已知可得ac=4，a²+c²-b²=2$\sqrt{7}$，繼而利用余弦定理可得cosB，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinB，根據(jù)三角形面積公式即可計(jì)算得解．

解答 解：∵a²sinC=4sinA，
∴由正弦定理可得：a²c=4a，解得：ac=4，
∵（ca+cb）（sinA-sinB）=sinC（2$\sqrt{7}$-c²），
∴c（a+b）（a-b）=c（2$\sqrt{7}$-c²），整理可得：a²+c²-b²=2$\sqrt{7}$，
∴由余弦定理可得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{2\sqrt{7}}{2×4}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，可得：sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{3}{4}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×4×\frac{3}{4}$=$\frac{3}{2}$．
故答案為：$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，余弦定理可，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角形面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．