Question

2．已知函數(shù)f（x）=4lnx-x+$\frac{3}{x}$，g（x）=2x²-bx+20，若對于任意x₁∈（0，2），都存在x₂∈[1，2]，使得f（x₁）≥g（x₂）成立，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是[13，+∞）．

Answer 1

分析 首先對f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x）的最值問題，根據(jù)題意對任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），只要f（x）的最小值大于等于g（x）的最小值即可，對g（x）的圖象進(jìn)行討論根據(jù)對稱軸研究g（x）的最值問題，從而進(jìn)行求解．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=4lnx-x+$\frac{3}{x}$，（x＞0）
∴f′（x）=$\frac{4}{x}$-1-$\frac{3}{{x}^{2}}$=-$\frac{（x-1）（x-3）}{{x}^{2}}$，
若f′（x）＞0，1＜x＜3，f（x）為增函數(shù)；
若f′（x）＜0，x＞3或0＜x＜1，f（x）為減函數(shù)；
f（x）在x∈（0，2）上有極值，
f（x）在x=1處取極小值也是最小值f（x）_min=f（1）=-1+3=2；
∵g（x）=2x²-bx+20=2（x-$\frac{4}$）²+4-$\frac{^{2}}{8}$，對稱軸x=$\frac{4}$，x∈[1，2]，
當(dāng)$\frac{4}$＜1時，g（x）在x=1處取最小值g（x）_min=g（1）=2-b+20=22-b；
當(dāng)1＜$\frac{4}$＜2時，g（x）在x=$\frac{4}$處取最小值g（x）_min=g（$\frac{4}$）=20-$\frac{^{2}}{8}$；
當(dāng)$\frac{4}$＞2時，g（x）在[1，2]上是減函數(shù)，g（x）_min=g（2）=8-2b+20=28-2b；
∵對任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），
∴只要f（x）的最小值大于等于g（x）的最小值即可，
當(dāng)$\frac{4}$＜1時，2≥22-b，解得b≥20，故b無解；
當(dāng)$\frac{4}$＞2時，2≥28-2b，解得b≥13，
綜上：b≥13，
故答案為：[13，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，求函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數(shù)在（a，b）內(nèi)所有極值與端點(diǎn)函數(shù)f（a），f（b） 比較而得到的，此題還涉及函數(shù)的恒成立問題，注意問題最終轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題上．