Question

9．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，AB=BC=AA₁，則異面直線AC₁與B₁C所成角為（　　）

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 90°

Answer 1

分析 由條件便可看出B₁A₁，B₁C₁，B₁B三直線兩兩垂直，這樣分別以這三直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)AB=1，從而可以求出圖形上一些點的坐標(biāo)，從而可求出向量$\overrightarrow{A{C}_{1}}，\overrightarrow{{B}_{1}C}$的坐標(biāo)，并可以說明$\overrightarrow{A{C}_{1}}⊥\overrightarrow{{B}_{1}C}$，從而得出異面直線AC₁與B₁C所成的角．

解答 解：如圖，根據(jù)條件知，B₁A₁，B₁C₁，B₁B三直線兩兩垂直，分別以這三直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=1，則：
B₁（0，0，0），C（0，1，1），A（1，0，1），C₁（0，1，0）；
∴$\overrightarrow{A{C}_{1}}=（-1，1，-1），\overrightarrow{{B}_{1}C}=（0，1，1）$；
∴$\overrightarrow{A{C}_{1}}•\overrightarrow{{B}_{1}C}=0$；
∴$\overrightarrow{A{C}_{1}}⊥\overrightarrow{{B}_{1}C}$；
即AC₁⊥B₁C；
∴異面直線AC₁與B₁C所成角為90°．
故選：D．

點評 考查直三棱柱的定義，線面垂直的性質(zhì)，以及通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求異面直線所成角的方法，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，向量垂直的充要條件，以及異面直線所成角的概念．