Question

19．下列命題中
①若f′（x₀）=0，則函數(shù)y=f（x）在x=x₀取得極值；
②直線5x-2y+1=0與函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）的圖象不相切；
③若z∈C（C為復(fù)數(shù)集），且|z+2-2i|=1，則|z-2-2i|的最小值是3；
④定積分${∫}_{-4}^{0}$$\sqrt{16-{x}^{2}}$dx=4π．
正確的有（　�。�

• A． ①④
• B． ③④
• C． ②④
• D． ②③④

Answer 1

分析 ①若f′（x₀）=0，且在x=x₀的左右附近導(dǎo)數(shù)的符號(hào)改變，則函數(shù)y=f（x）在x=x₀取得極值判斷即可；
②求出導(dǎo)數(shù)f′（x），由切線的斜率等于f′（x₀），根據(jù)三角函數(shù)的值域加以判斷即可；
③|z+2-2i|=1表示圓，|z-2-2i|的幾何意義兩點(diǎn)的距離，通過(guò)連接兩定點(diǎn)，由原定特性即可求出最小值；
④令y=$\sqrt{16-{x}^{2}}$，則x²+y²=16（y≥0），點(diǎn)（x，y）的軌跡表示半圓，則該積分表示該圓面積的$\frac{1}{4}$．

解答 解：①若f′（x₀）=0，且在x=x₀的左右附近導(dǎo)數(shù)的符號(hào)改變，則函數(shù)y=f（x）在x=x₀取得極值，故不正確；
②若直線與函數(shù)的圖象相切，則f′（x₀）=2.5，即2cos（2x₀+$\frac{π}{3}$）=2.5，顯然x₀不存在，故②正確；
③|z+2-2i|=1的幾何意義是以A（-2，2）為圓心，半徑為1的圓，|z-2-2i|的幾何意義是圓上一點(diǎn)到點(diǎn)B（2，2）的距離，連接AB并延長(zhǎng)，顯然最小值為AB-1=4-1=3，故③正確；
④令y=$\sqrt{16-{x}^{2}}$，則x²+y²=16（y≥0），點(diǎn)（x，y）的軌跡表示半圓，定積分${∫}_{-4}^{0}$$\sqrt{16-{x}^{2}}$dx表示以原點(diǎn)為圓心，4為半徑的圓面積的$\frac{1}{4}$，故定積分${∫}_{-4}^{0}$$\sqrt{16-{x}^{2}}$dx=$\frac{1}{4}$×π×4²=4π，故④正確．
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假為載體考查函數(shù)的極值概念，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用于求切線方程，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，定積分的幾何意義及求法，是一道中檔題．